Раз. Заходим в старый аккаунт Gmail, в его настройках открываем вкладку Forwarding and POP/IMAP и в разделе POP Download отмечаем пункт Enable POP for all mail. Дополнительно в поле Forwarding включаем (если необходимо) переадресацию писем на новый ящик и фиксируем внесённые изменения нажатием клавиши Save Changes.
Два. Переключаемся в новый аккаунт онлайновой службы и посредством меню "Settings -> Accounts -> Get mail from other accounts -> Add another mail account" настраиваем сборку корреспонденции со старого ящика по протоколу POP3. Затем нажимаем клавишу Add Account и дожидаемся, когда сервис завершит перенос почты. Если писем много, то перенос данных может занять продолжительное время.
А вот тут сервис по такой миграции но не для "параноиков"